• | Печать |

Вопросы и задачи для подготовки к зачету

по теме: «Некоторые сведения из планиметрии»

10 класс (профильный уровень)

Теория

1. Сформулируйте и докажите теорему об угле между касательной и хордой.
2. Сформулируйте и докажите теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд.
3. Сформулируйте и докажите теорему о квадрате касательной.
4. Докажите, что угол между пересекающимися хордами измеряется полусуммой заключенных между ними дуг.
5. Докажите, что угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, измеряется полуразностью заключенных внутри него дуг.
6. Докажите, что угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки, измеряется полуразностью заключенных внутри него дуг.
7. Докажите, что угол между двумя касательными, проеденными из одной точки, равен 180° минус величина заключенной внутри него дуг, меньшей полуокружности.
8. Сформулируйте определение вписанного, описанного четырехугольника.
9. Сформулируйте свойство, признак вписанного четырехугольника.
10.  Сформулируйте свойство, признак описанного четырехугольника.
11.  Сформулируйте теорему о квадрате медианы треугольника, следствие из неё.
12.  Сформулируйте теорему о биссектрисе треугольника, следствие из неё.
13.  Запишите формулы для нахождения площади треугольника: прямоугольного, равностороннего, формулу Герона, через синусы углов треугольника, через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности.

Задачи

1. Касательная в точке А к описанной окружности треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке Е, AD– биссектриса треугольника АВС. Докажите, что АЕ=ED.
2. Около треугольника MNK описана окружность. Через точку М к окружности проведена касательная, пересекающая прямую NK в точке А так, что К лежит на отрезке AN. Найдите длину AN, если NK=12, AM=18.
3. На окружности взяты точки A, C₁, B, A₁, C, B₁ в указанном порядке. Докажите, что если прямые AB₁, BB₁, CC₁ являются биссектрисами углов треугольника ABC, то они являются высотами треугольника A₁B₁C₁.
4. Около треугольника BCD описана окружность. Через точку В к окружности проведена касательная, пересекающая прямую CD в точке А так, что D лежит на отрезке AC. Найдите AD, если CD=5, AB=6.
5. Две стороны треугольника равны соответственно 6 см и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.
6. Дины сторон треугольника равны 7,8 и 9см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.
7. Периметр треугольника равен 45, а биссектриса одного из внутренних углов делит его противоположную сторону на отрезки 9 и 6. Найдите большую сторону треугольника.
8. В треугольнике АВС ВС=7см, АВ=6см, АС=5см. Биссектриса угла С пересекает сторону AB в точке D. Найдите площадь треугольника ADC.
9. На окружности даны четыре точки A,B,C и D в указанном порядке. Точка M– середина дуги АВ, К–точка пересечения хорд АВ и МС. Докажите, что около четырехугольника CDKE можно описать окружность.