• | Печать |

Петер Густав  Лежён Дирихле – немецкий математик, иностранный член Петербургской академии наук, член Лондонского королевского общества, Парижской и Берлинской академий наук.

 Суть принципа Дирихле

Если в n ящиках имеется не меньше, чем n+1 вещей, то, открывая эти ящики, мы хотя бы в одном из них обнаружим не меньше двух вещей.

Обычно принцип Дирихле объясняют на примере зайцев и клеток: « Если в n клеток посадить  n+1 зайцев, то найдётся хотя бы одна клетка, в которой находятся не менее двух зайцев».

Пример 1.

В классе учатся 22 ученика. Докажите, что из них можно выбрать четырёх, которые родились в один день недели.

Решение. Предположим, что в каждый день недели родилось не более трёх учеников. Тогда в классе учится не более 3*7=21 ученика. Но это противоречит условию. Значит, найдутся четыре ученика, которые родились в один день.

Пример 2.

В 3В классе учится 27 школьников, знающих всего 109 стихотворений. Докажите, что найдётся школьник, знающий не менее пяти стихотворений.

Решение. Предположим, что каждый школьник знает не более четырёх стихотворений. Значит, 27 школьников знают не более  4*27=108 стихотворений. Но по условию, они знают 109 стихотворений. Получили противоречие. Значит, найдётся школьник, который знает  хотя бы пять стихотворений.

Пример 3

В хвойном лесу 800 000 елей, и на каждой из них не более 500 000 игл. Докажите, что, по крайней мере, у двух елей число игл одинаковое.

Решение. Пусть в одну клетку попали ели с одинаковым числом иголок 0; 1; 2;…;500 000. Если в каждой клетке по одной ели, то их 1*500000 =500 000, а в лесу – 800 000. Значит, хотя бы у двух елей число игл одинаковое.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В походе участвовало 25 человек, каждому из которых было от 24 до 30 полных лет (на данный день). Докажите, что найдутся четыре человека, родившихся в один год.

2. В классе 30 человек. Саша Иванов в диктанте сделал 13 ошибок, а остальные – меньше. Докажите, что , по крайней мере, 3 ученика сделали ошибок поровну (работа может быть и безошибочной).

3. В квадрате со стороной 10 отметили 201 точку. Докажите, что какие-то три из выбранных точек можно накрыть квадратом со стороной 1.