• | Печать |

Простые и составные числа

Натуральный ряд чисел (1,2,3,4,5,6,...) бес­конечен. Как вы уже знаете, среди чисел натураль­ного ряда мы различаем числа простые и состав­ные.

Натуральное число, большее единицы, назы­вается простым, если оно имеет только два дели­теля (единицу и само число); если число имеет более двух делителей, то оно называется составным. Единицу нельзя причислить ни к простым числам, ни к составным. Это единственное число, которое имеет только один делитель. Вопрос о распределении простых чисел в ряду натуральных чисел с давних времен интересовал математиков.

Если посмотреть на натуральный ряд чисел, то мы убедимся, что в пределах от 1 до 100 простые числа встречаются довольно часто, зна­чительно реже в промежутке от 100 до 1000 и по мере удаления от еди­ницы они встречаются все реже и реже. Отсюда может возникнуть мысль, что число простых чисел конечно. Но Евклид опроверг это пред­положение, доказав теорему, что число простых чисел бесконечно ве­лико.

Греческому математику Эратосфену, жившему более чем за 2000 лет до нашей эры, принадлежит очень простой и удобный способ составле­ния таблицы простых чисел. Эратосфен записывал числа на дощечке, покрытой воском, и после­довательно прокалывал составные числа. Таким образом, на доске не­тронутыми оставались лишь простые числа, а составные числа исчезали, как бы просеивались. Оставив нетронутым число 2, он далее прока­лывал 4, 6, 8,..., т.е. все четные числа, кратные двум. Следующее простое число 3, а все числа, кратные трем, уже состав­ные, поэтому прокалываются все числа через два в третье. Оставив число 5, как простое, прокалываются все числа, кратные 5, то есть каждое пятое число, и т.д. Таким путем Эратосфен составил таблицу простых чисел до 1000. Эта таблица стала известна под названием "Решето Эратосфена ".

Крупнейшие математики работали и продолжают работать над раз­решением различных вопросов в области простых чисел.

Великому русскому математику П.Л. Чебышеву (1821 -1894) принад­лежит решение одного важного вопроса в теории простых чисел, воп­роса, который не мог разрешить, ни один из великих математиков про­шлого века. Он открыл закон, по которому можно предвидеть возмож­ное число простых чисел в любом промежутке натуральных чисел. Его открытие произвело потрясающее впечатление на передовых матема­тиков Европы.

Академик И.М. Виноградов (1891 – 1985)  также разрешил ряд трудных вопросов в области простых чисел.

Пока число невелико, легко определить, является ли оно простым или составным. Составное число легко узнать, если среди делителей этого числа есть такие, которые можно определить по признакам дели­мости. А если число велико, как тогда узнать, является ли это число простым или же составным?

Для того чтобы определить, является ли данное число про­стым или составным, надо делить его на каждое из простых чисел, квад­рат которых близок к данному числу, но не превышает его. Наимень­ший отличный от единицы простой делитель составного числа не мо­жет быть больше корня из этого числа.

Пусть надо определить, будет ли число 667 простым. По признакам делимости мы не можем найти делителей этого числа. Смотрим квад­раты чисел: ...23² = 529; 27² = 729.

Делим 667 на 23, получаем 29.

Следовательно, 667 — число составное.

Помимо признаков делимости на числа, изучаемые в школе (на 2, 3, 4, 5, 10, 25), полезно знать признак делимости на 7,11, 13.

Если разность, полученная от вычитания числа, выраженного тремя последними цифрами данного числа, из числа, выраженного всеми остальными цифрами (или наоборот), равна 0 или делится на 7, или на 11, или на 13, то и данное число разделится соответственно на 7, или на 11, или на 13.

Задачи

1. Как только Дима назвал число 17 – сумму четырёх простых чисел, так Андрей сразу же нашёл их произведение, хотя Дима слагаемых не называл. Как рассуждал Андрей? Чему равно найденное им произведение?

2. Записав подряд цифры от 1 до 9, Олег получил девятизначное число. Простое это будет число или составное? А если как угодно менять порядок цифр в этом числе, то будет меняться ответ на такой вопрос?

3. В новогодний вечер Дед Мороз дал ребятам такое задание: используя каждый раз все девять цифр от 1 до 9 по одному разу, вставить между каждыми двумя соседними цифрами «+» или «-» так, чтобы после выполнения действий получить все возможные простые двузначные числа. Помогите ребятам выполнить это задание. Сколько всего таких чисел можно получить?

4. Чтобы войти в замок Арифмос, надо набрать шифр: записать последовательно в возрастающем порядке по одному разу 10 простых чисел натурального ряда. В полученном многозначном числе, не переставляя цифры, вычеркнуть половину цифр так, чтобы оставшиеся выражали: а) наименьшее возможное число; б) наибольшее. Найдите эти числа.

5. Можно ли при сложении двух, трёх, четырёх или пяти первых последовательных нечётных чисел натурального ряда получить простое число?

6. По всем вагонам пассажирского поезда поровну разместили 737 туристов. Сколько было вагонов и сколько туристов в каждом вагоне?